ปิดมหากาพย์ 87 ปี นักคณิตฯฮาร์วาร์ดจับมือ AI โค่นโจทย์ระดับตำนานสำเร็จ

วงการคณิตศาสตร์โลกสั่นคลอนอีกครั้ง เมื่อโมเดล AI ร่วมกับนักคณิตศาสตร์ศิษย์เก่าฮาร์วาร์ด สามารถถอดรหัส “ข้อสันนิษฐานจาโคเบียน” (Jacobian Conjecture) ปัญหาระดับตำนานอายุ 87 ปีได้สำเร็จในเวลาเพียงไม่นาน พร้อมจุดประเด็นคำถามในยุคที่ AI สามารถโค่นโจทย์สุดหินได้มากขึ้นเรื่อย ๆ บทบาทของนักคณิตศาสตร์จะเปลี่ยนไปอย่างไร

ฟอร์จูน (Fortune) ระบุ ช่วงวันอาทิตย์ที่ผ่านมา ขณะที่สายตาของคนทั้งโลกต่างจับจ้องไปที่การแข่งขันฟุตบอลโลกรอบชิงชนะเลิศ โมเดล AI ตัวหนึ่งก็ได้ไขปัญหาที่ทรมานนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่ปี 1939 ได้สำเร็จ

เมื่อถึงเวลาที่ เควิน บัซซาร์ด (Kevin Buzzard) ตื่นนอนในลอนดอนเช้าวันถัดมา ผลลัพธ์ดังกล่าวก็ได้รับการตรวจสอบและยืนยันแล้ว พอถึงช่วงอาหารกลางวัน หัวข้อเดียวที่บรรดาเพื่อนร่วมงานในภาควิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ณ Imperial College London พูดถึง โพสต์ประกาศผลลัพธ์โดย เลแวนต์ อัลเพอเกอ (Levant Alpöge) พนักงานของ Anthropic บนแพลตฟอร์ม X ก็มียอดเข้าชมทะลุ 20 ล้านครั้งไปแล้ว

มันเป็นวันยิ่งใหญ่มากครับ

บัซซาร์ดบอกกับผู้สื่อข่าวของ Fortune

โดยส่วนตัวแล้ว ผมคิดว่ามันเป็นช่วงเวลาที่ดีมากจริงๆ ที่ได้มีชีวิตอยู่

นี่ถือเป็นก้าวสำคัญล่าสุดในอนุกรมความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ขับเคลื่อนด้วย AI ความก้าวหน้า ของ AI ต่อปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีใครแก้ได้นั้น เพิ่มพูนขึ้นอย่างรวดเร็วนับตั้งแต่กลางปี 2025 เมื่อโมเดลต่าง ๆ สามารถแก้โจทย์การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (IMO) ได้ถึง 5 จาก 6 ข้อเป็นครั้งแรก

จากจุดนั้น รายชื่อปัญหาคณิตศาสตร์ที่ถูกโค่นลงก็เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว โดยโมเดลของ OpenAI สามารถหักล้างข้อสันนิษฐานของแอร์เดิช (Erdős conjecture) ที่อายุ 80 ปีเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคอมบิเนทอริกซ์ได้ในเดือนพฤษภาคม และในเดือนมิถุนายน นักวิจัย 16 คนจาก 15 มหาวิทยาลัยได้ร่วมกันตีพิมพ์ ปฏิญญาไลเดนว่าด้วยปัญญาประดิษฐ์และคณิตศาสตร์ (Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics)

เพื่อเรียกร้องให้วิชาชีพนี้กำหนดกรอบคุ้มครองเกี่ยวกับความโปร่งใส การระบุแหล่งที่มา และการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ (peer review) ก่อนที่ AI จะเข้ามาเปลี่ยนความหมายของคำว่า “ความรู้ทางคณิตศาสตร์” ไปโดยสิ้นเชิง

นักคณิตศาสตร์ซึ่งถูกลดบทบาทลงเหลือเพียง “คนต้อนฝูงสัตว์” จึงทำได้เพียงนั่งมอง AI ค่อย ๆ ปิดลิสต์คำถามเหล่านี้ไปทีละข้อ ๆ จนไปถึงจุดที่มนุษย์ไม่อาจเอื้อมถึง ปฏิกิริยาของพวกเขาจึงกลายเป็นส่วนผสมของความหวาดหวั่นและความอัศจรรย์ใจที่คุ้นเคยกันดีในปัจจุบัน

โจทย์ปัญหาระดับตำนานอายุ 87 ปี

ปัญหานี้มีชื่อเรียกว่า ข้อสันนิษฐานจาโคเบียน (Jacobian conjecture) และนับตั้งแต่ปี 1939 เป็นต้นมา มันแขวนอยู่บนผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ออตต์-ไฮนริช เคลเลอร์ (Ott-Heinrich Keller) โดยพื้นฐานแล้ว ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่า “แผนภาพ (maps)” และเงื่อนไขที่ว่า เมื่อกำหนดชุดผลลัพธ์มาให้ เราจะสามารถหารูปแบบนำเข้าได้หรือไม่

แน่นอนว่าในเมื่อเป็นคณิตศาสตร์ มันจึงอ้างอิงจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันอีกคนเมื่อหนึ่งศตวรรษก่อนหน้า นั่นคือ ตัวกำหนดจาโคเบียน (Jacobian determinant) ของ คาร์ล กุสทัฟ ยาคอบ ยาโคบี (Carl Gustav Jacob Jacobi) ปัญหาหลักสำหรับนักคณิตศาสตร์ยุคใหม่ก็คือ พวกเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อสันนิษฐานของเคลเลอร์เป็นจริง หรือหาเหตุผลมาหักล้างได้ว่ามันเป็นเท็จ

แต่ตอนนี้ ผลลัพธ์ของอัลเพอเกอ ได้เข้าทำมุมกับตัวกำหนดจาโคเบียนที่ทุกจุดในสเปซ โดยตัวกำหนดคงที่อยู่ที่ −2 ในทุกพื้นที่ แต่กลับส่งจุดเริ่มต้น 3 จุดที่แตกต่างกันไปจบลงที่เป้าหมายเดียวกัน ซึ่งหมายความว่า มันไม่ผ่านการทดสอบ หรือก็คือพบข้อขัดแย้งที่พิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานนี้ไม่เป็นจริง

“มันเป็นผลลัพธ์ที่น่าตื่นเต้นมาก” บัซซาร์ดกล่าว

นี่เป็นสิ่งที่แสดงให้เห็นถึงศักยภาพของโมเดลภาษาที่จะก้าวไปสู่ระดับ “สุดยอดนักคณิตศาสตร์ (supermathematician)” ตามที่ คริสเตียน เซเกดี (Christian Szegedy) นักวิทยาศาสตร์การเรียนรู้เชิงลึกจาก Google เคยเตือนไว้เมื่อครึ่งทศวรรษก่อน

แต่มันก็ยังทิ้งให้นักคณิตศาสตร์รู้สึกขาดอะไรบางอย่าง ปัญหาของการใช้โมเดล AI ในปัจจุบันมาแก้คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็คือ

คุณจะได้ “คำตอบอย่างไร” โดยปราศจาก “เหตุผลว่าทำไม”

อะคิล แมทธิว (Akhil Mathew) นักคณิตศาสตร์จาก University of Chicago ผู้ซึ่งอัลเพอเกอระบุว่าเป็นคนแนะนำโจทย์ข้อนี้ให้แก่เขา อธิบายว่า

“เราสามารถตรวจสอบได้ครับว่ามันถูกต้อง” แมทธิวบอกกับ Fortune

แต่มันจะดีกว่านี้มากถ้าเราสามารถ ‘เล่าเรื่องราว’ ของมันได้

เหตุผลที่เรายังต้องมีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

นักคณิตศาสตร์เคยเผชิญหน้ากับระบบอัตโนมัติมาแล้วในอดีต คนส่วนใหญ่ที่มีความรู้คณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายมักมองว่า งานของนักคณิตศาสตร์คือการคำนวณ ซึ่งคอมพิวเตอร์ได้เอาชนะมนุษย์ไปแล้วเมื่อหลายทศวรรษก่อน

“แต่พอคุณเข้ามหาวิทยาลัย และได้เรียนวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง คุณจะพบว่าจริงๆ แล้วคณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นเรื่องของ ‘การให้เหตุผล’ ครับ”

บัซซาร์ดกล่าว

เครื่องคิดเลขสามารถคูณเลขสี่หลักได้ไวมากเมื่อเทียบกับมนุษย์ทุกคน แต่สิ่งที่นักคณิตศาสตร์เติมเข้าไปคือ “เหตุผล” บัซซาร์ดอธิบายว่า หากมีคนบอกเขาว่า 131 คูณกับ 137 ได้ผลลัพธ์คือสี่ล้าน เขาไม่จำเป็นต้องหยิบเครื่องคิดเลขเลย เพราะเขารู้ดีว่าเลขคี่สองจำนวนคูณกัน ไม่มีทางได้ผลลัพธ์เป็นเลขคู่แน่นอน การจะเข้าใจสิ่งใดสิ่งหนึ่งได้ เขากล่าวว่า มันคือ

“การจัดวางสิ่งนั้นให้ลงล็อกในสมองของคุณ จัดให้ดีพอจนคุณสามารถสร้างผลลัพธ์นั้นขึ้นมาใหม่ได้เองจากไอเดียตั้งต้น”

ในการพิสูจน์ความรู้ของคุณสำหรับคณิตศาสตร์แบบเป็นทางการ สิ่งนั้นเรียกว่า “บทพิสูจน์” (Proof) ซึ่งก็คือ ห่วงโซ่ของขั้นตอนทางตรรกะที่แต่ละขั้นจะต่อเนื่องมาจากขั้นก่อนหน้า จนไปสิ้นสุดที่ข้อกล่าวอ้างที่คุณสร้างขึ้น บทพิสูจน์คือทั้งวิธีที่นักคณิตศาสตร์ใช้สร้างความรู้และเป็นมาตรวัดตัวพวกเขา บทพิสูจน์ที่ยิ่งใหญ่บางชิ้นอาจยาวหลายร้อยหน้า และต้องใช้เวลาหลายเดือนในการอธิบายให้ผู้เชี่ยวชาญเชื่อถือและไว้วางใจ

จนถึงตอนนี้ AI ยังไม่มีความสามารถมากพอที่จะสร้างบทพิสูจน์เช่นนั้นได้

บัซซาร์ดกล่าว

การสร้างบทพิสูจน์ที่ประณีตยาว 150 หน้าต้องใช้ขั้นตอนนับร้อยขั้นตอน และโมเดลภาษาก็มักจะมีนิสัยชอบเชื่อมช่องว่างด้วยข้อความเติมเต็มที่ฟังดูน่าเชื่อถือ เพราะโมเดลไม่ได้มีความเสี่ยงเรื่องชื่อเสียงเหมือนกับเพื่อนร่วมงานที่เป็นมนุษย์หากมันทำผิดพลาด

ทว่าหากขวดที่อุดอู้อยู่นี้แตกออกเมื่อใด มันก็อาจเป็นผลงานของตัวบัซซาร์ดเอง โครงการตลอดชีวิตการทำงานของเขาคือ Lean ซึ่งเป็นภาษาคอมพิวเตอร์ยอดนิยมที่ใช้สำหรับตรวจสอบบทพิสูจน์ด้วยเครื่องจักร แทนที่จะใช้โพสต์ด็อก (PhD) ที่เหน็ดเหนื่อย

เขากล่าวว่า บทพิสูจน์ดังกล่าวได้ถูกตรวจสอบใน Lean เรียบร้อยแล้วตั้งแต่ก่อนที่เขาจะตื่นนอนด้วยซ้ำ วินาทีที่โมเดลเขียนบทพิสูจน์มาบรรจบกับเครื่องตรวจบทพิสูจน์ของเขา ความได้เปรียบสุดท้ายของมนุษย์ในวงการคณิตศาสตร์ก็อาจสูญสลายไปได้

คำถามเรื่อง “รสนิยม” (Taste)

แมทธิวมีความตื่นเต้นที่สุขุมกว่า โดยเรียกช่วงเวลานี้ว่าเป็น “การเปลี่ยนแปลงที่รวดเร็วมากและน่าหวั่นใจยิ่ง… โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่”

ไมเคิล แฮร์ริส (Michael Harris) ศาตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์จาก Columbia ได้เขียนไว้ในความเห็นชิ้นหนึ่งเมื่อเดือนมิถุนายนใน Boston Review ว่า อุตสาหกรรม AI ปฏิบัติของการให้เหตุผลหรือความเข้าใจราวกับเป็นสิ่งที่ไม่มีมูลค่าทางพาณิชย์ และมองว่านักคณิตศาสตร์ที่เป็นมนุษย์เป็นเพียง “สติปัญญารุ่นเบต้า (beta version)”

มันอาจจะฟังดูไม่ค่อยอภิรมย์นักสำหรับสาธารณชนที่จะนำเงินอุดหนุนมาให้นักคณิตศาสตร์ใช้ “เล่น” เพราะแม้กระทั่งก่อนที่ AI จะเข้ามาสั่นคลอนงานของพวกเขา งบประมาณสนับสนุนการวิจัยคณิตศาสตร์จากภาครัฐก็ลดลงไปแล้วราว 72% ภายใต้การตัดงบฯมูลนิธิวิทยาศาสตร์แห่งชาติ (NSF) ในยุครัฐบาลทรัมป์

การรับนักศึกษาปริญญาเอกในมหาวิทยาลัยวิจัยชั้นนำก็ลดลง 15% ในฤดูใบไม้ร่วงนี้ ซึ่งเป็นการหดตัวต่อเนื่องเป็นปีที่สอง โดยทุนปริญญาเอกคณิตศาสตร์ของ George Washington University ถึงกับไม่มีการรับนักศึกษาที่ได้ทุนเลยแม้แต่คนเดียว

บางคนมองว่าการล่มสลายของความเป็นวิชาชีพทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นเรื่องดี เพราะเครื่องจักรช่วยกระจายอำนาจและทำให้ทุกคนเข้าถึง “การเล่น” นี้ได้ การ์รี แทน (Garry Tan) ประธานของ Y Combinator ได้แสดงความเห็นต่อข่าวนี้บน X โดยยกย่องการกลับมาของยุค “สุภาพบุรุษนักวิทยาศาสตร์ (gentleman scientist)” มหาเศรษฐีผู้รอบรู้ตามรอย เบนจามิน แฟรงคลิน ที่ออกทุนเพื่อตอบสนองความอยากรู้อยากเห็นของตนเอง

แต่นั่นใช้ไม่ได้กับอัลเพอเกอ เพราะเขาไม่ใช่มือสมัครเล่น เขาคือผู้แทนกล่าวสุนทรพจน์วันรับปริญญา (valedictorian) จากฮาร์วาร์ด ผู้ใช้เวลาเป็นทศวรรษในการใช้อัลกอริทึมคำนวณปัญหาประเภทนี้โดยเฉพาะ

“และนั่นอาจเป็นกลยุทธ์สำคัญในการรักษาให้มนุษย์ยังคงอยู่ในวงจรของคณิตศาสตร์” บัซซาร์ดกล่าว

เพราะนอกเหนือจากการคำนวณ นอกเหนือไปกว่าการให้เหตุผลเชิงตรรกะ หัวใจสำคัญของ “ความเข้าใจ” ก็คือการรู้ว่า ควรจะถามอะไร หรือสิ่งที่ชาวซิลลิคอนวัลเลย์เรียกว่า “รสนิยม” (taste)

“ผู้คนเคยพยายามทำให้เครื่องจักรรู้จักตั้งคำถาม และพวกมันทำได้แย่มากครับ”

เขากล่าว

“คำถามทั้งหมดที่มันถาม ไม่น่าเบื่อ ก็เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด หรือไม่ก็เป็นเท็จอย่างเห็นได้ชัด”

อนุสาวรีย์แห่งวงการนี้ไม่ว่าจะเป็นข้อสันนิษฐานรีมันน์ (Riemann hypothesis) หรือข้อสันนิษฐานจาโคเบียนของเคลเลอร์ต่างถูกตั้งชื่อตาม “ผู้ที่ตั้งคำถาม” เหล่านั้นขึ้นมา ไม่ใช่คนที่แก้ไขมันได้ บัซซาร์ดเสริมเพื่อชี้ให้เห็นถึงมุมมองนี้

“และมันไม่ใช่เรื่องบังเอิญอย่างแน่นอนครับ เพราะคุณต้องเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ชาญฉลาดมากจริง ๆ ถึงจะสามารถตั้งคำถามที่ถูกต้องออกมาได้”